Los números primos: ¿Cuáles son y ejemplos?

Números primos

Los números que conocemos, con los que nos topamos y usamos a cada instante de nuestro existir, pueden ser agrupados y descritos según diferentes tipos de criterio.

Uno de estos atributos -que hace particularmente distintos y originales a una serie de números- es su condición de números primos. Entre los números enteros -que son aquellos que se distribuyen entre positivos y negativos, teniendo el cero como punto de partida- una porción de ellos no pueden ser divididos por ningún otro número entero que no sea por ellos mismos o por el número 1; es decir, poseen únicamente dos divisores posibles.

Euclides -matemático griego- describió por primera vez a los números portadores de esta característica, denominándolos como números primos.

Consecuencias aritméticas

  • En primera instancia, la consecuencia principal que se deriva de los números primos es que los números pares nunca podrán ser números primos, pues todos ellos son divisibles entre 2, por lo que tienen más de dos divisores (el 1, el 2 y el número en sí mismo, como mínimo). 
  • La segunda consecuencia, derivada de lo anterior, es que el número 2 también es un número primo, aunque sea un número par, pues solo se divide por sí mismo y por el número 1. 
  • Por lo tanto, la tercera consecuencia derivada directamente de la existencia de los números primos es que cualquier número no primo resulta entonces un número compuesto por la combinación de otros números
  • Una cuarta consecuencia deriva en el Teorema Fundamental de la Aritmética, que reza así: “Todo número entero mayor que 1 se expresa de forma única como producto de números primos”. Ahora bien, sabiendo que todos ellos son, por lo tanto, impares, vamos a caracterizarlos y conocerlos un poco más. 

El número 1, ¿se considera un número primo?

Formalmente no se menciona al número 1 como número primo, pues ya es por definición número primo con todos los otros números, primos o compuestos, pues representa el factor universal de división de cualquier cifra.

Números primos entre sí

Entre los números primos y el resto de los números enteros también se puede establecer algún tipo de relación de relación, a la que se le denomina “primos entre sí” o “primos relativos”, definidos como “dos números que solamente tienen al número 1 como máximo común divisor”. Un número primo es ya de por si primo relativo obligado de otro número primo, y de cualquier número compuesto, pero dos números compuestos también pueden ser a su vez primos entre sí.

Números primos entre sí

Entre las cifras mas bajas que podemos poner como ejemplo sencillo para explicar este fenómeno matemático están los números 7 y 13; el 11 y 8; el 15 y 4; el 9 y 8; el 10 y 3.

¿Cómo verificar si un número es primo?

La manera directa de verificar la primalidad de una cifra es, sin duda, probándolo a través de la secuencia de divisiones de un algoritmo que tantee organizadamente la capacidad de división exacta del número evaluado entre cifras consecutivas, salvo el cero y el 1; es decir, partiendo del número 3 como base de cálculo, pues los números pares son todos números compuestos. Esta prueba, que solo requiere ser realizada en principio a los números impares, excluye claramente algunos que ya se rigen previamente por alguna otra regla de multiplicación, como las cifras terminadas en cinco, por ejemplo.

La criba de Eratóstenes

Es un método resolutivo que se basa en una tabla de múltiplos, donde estos se van descartando por ser números compuestos, quedando definidos entonces los números primos de la serie. El método solo resulta útil para cifras bajas, pero representa un muy buen ejercicio de razonamiento matemático. Los números primos menores de 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. 

Para verificar los números primos con mayor número de cifras, existen tablas de consulta que están disponibles en numerosos enlaces de la red.

¿Se pueden predecir los números primos?

Aunque los números que conforman las primeras series pueden ser fácilmente predecibles, una vez que esas cifras van alcanzando niveles importantes, resulta prácticamente imposible predecir a priori si un número de una serie resultará ser un número primo.

Es decir, no se ha logrado desarrollar, a la fecha, una serie polinómica lo suficientemente robusta capaz de resolver completamente este enigma de las Matemáticas, porque no se ha conseguido ningún patrón discernible. Si bien, ha sido abordado de manera formal por reconocidos matemáticos a lo largo de la historia, a través de los algoritmos propuestos por la criba de Eratóstenes y el teorema pequeño de Fermat, este sigue siendo un problema de trabajo para muchos matemáticos, basados ahora en series de probabilidades cuyos números generados se prueban luego con el conocido como test de primalidad.

Curiosidades y utilidad de los números primos

  • El número primo con mayor número de cifras conocido hasta el momento tiene 23 millones de dígitos. Fue calculado a través de un algoritmo computacional resuelto el 26 de diciembre de 2017, por un ingeniero estadounidense, a partir de una fórmula básica en la que se elevó el número 2 a la 77.232.917 potencia y se le restó 1. Luego de esto, se realizó la verificación de su capacidad divisoria para certificar su primalidad. Es una cifra tan inmensa, que solo que conoce por su código, el “M77232917”, el cual forma parte a su vez de una serie selecta de no más de 50 números primos de gran cantidad de cifras. Todos ellos han sido calculados con base en un algoritmo simple, pero potente, llamado números de Mersenne, donde, a pesar de todo, no todos sus números son primos.
  • La importancia de estos números radica en que pueden ser directamente utilizados como parte de algoritmos complejos relacionados con seguridad informática -sobre todo, bancaria- así como para elaborar códigos encriptados de información que viajen de forma segura, impidiendo el acceso a redes específicas.

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