Factorizar polinomios: ejercicios resueltos paso a paso

Factorizar polinomios

El álgebra es un área de la matemática que sirve para realizar operaciones aritméticas utilizando símbolos, también llamados variables, en lugar de números solamente, como en la aritmética.

Por su parte, un polinomio es una ecuación algebraica que permite calcular los valores de la variable independiente que definen una función F(x).

Esta ecuación algebraica está formada por operaciones aritméticas entre monomios o expresiones algebraicas de un solo término y sirve para calcular los valores de la función polinómica P(x).

Por ende, un polinomio es visto como una ecuación algebraica conformada por operaciones aritméticas entre monomios a fin de determinar el valor de la variable x.

Ejemplos de polinomios

Veamos algunos ejemplos de polinomios, que ilustran el concepto:

Fx= 3×3+5×2-x+9

Px= 6×2+7x-2

Qx=x+8

Rx=4x-1

Factorizar polinomios

De acuerdo con la matemática, descomponer en factores más simples una ecuación algebraica que tienen forma de multiplicación se denomina factorizar. Entonces, factorizar polinomios es la descomposición de un polinomio como producto de expresiones algebraicas más simples o monomios.

La factorización de polinomios es una técnica que permite escribirlos como el producto de monomios e inclusive, el producto de otros polinomios. Estos otros polinomios pueden tener forma de binomio como: x+a o como: x-a, es decir que solo tienen dos términos.

Esta descomposición se dice irreducible cuando ya no es posible expresar un polinomio como producto de otros polinomios más simples o monomios.

La factorización del polinomio se detiene cuando el polinomio es irreducible.

Raíz de un polinomio

Factorizar polinomios es encontrar las raíces de un polinomio P(x), es decir, encontrar un valor a, donde el polinomio se anula: Pa=0, entonces a es la raíz del polinomio

De acuerdo con el Teorema del resto, si a es la raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible entre x-a. Esto se debe a que un polinomio es divisible por otro polinomio cuando al dividirlos el resto de la división es cero.

Casos de Factorización Polinómica

Las técnicas usadas para factorizar polinomios, conocidas como casos de factorización polinómica, se basan en las propiedades de la multiplicación y en particular, en la propiedad distributiva

Los casos de factorización polinómica que existen son:

Factor común

A través de este caso, lo que se quiere es identificar cuál es el Factor Común a todas las partes que forman el polinomio. Así, la estructura del polinomio puede expresarse como la multiplicación de un grupo de factores comunes más simples.

Ejemplo de caso de Factor común

El polinomio Px=6x+ax contiene un factor repetitivo en cada uno de sus términos, entonces si lo expresamos como producto, usando la propiedad distributiva, tenemos:

Px=x6+a.

De este modo, se ve claramente que x es el factor común, es decir que x es el factor repetitivo en los dos monomios. Si aplicamos de nuevo, la propiedad distributiva a la factorización realizada Px=x6+a, obtenemos el polinomio inicial Px=6x+ax. 

Agrupación de términos

Como resultado de factorizar polinomios utilizando la técnica del Factor Común, el resultado puede ser un polinomio que a su vez, tiene factores comunes.

Factorización Polinómica

Por ello, hay que hacer un segundo paso, que es volver a poner en primer plano los factores comunes. Entonces, la factorización por agrupación de términos es una factorización doble la técnica del Factor Común.

Ejemplo del caso de Agrupación de términos

Dado el polinomio Px,y=xy+4y+7x+28 al factorizar la primera vez tenemos como resultado:

Px,y=yx+4+7(x+4), lo que sin duda, origina un nuevo polinomio que también contiene un Factor Común, el término: (x+4).

Por lo que al factorizarlo por segunda vez, obtenemos el siguiente polinomio:

Px,y=x+4y+7.

Diferencia de dos cuadrados

Los polinomios que son identificados como Diferencia de dos cuadrados están conformados de la siguiente manera:

Px= x2-a2

Y el resultado de factorizarlo es un producto notable, llamado producto de dos binomios conjugados:

Px=x+a(x-a)

Ejemplo de caso de Diferencia de dos cuadrados

Si tenemos el siguiente polinomio que factorizar:

Px= x2-92

El resultado de factorizarlo es el producto de dos binomios conjugados:

Px=x+9(x-9)

En otras palabras:

Px=x2-9x+9x-81

Es decir:

Px=x2-81

Trinomio Cuadrado Perfecto

Este caso es similar al de la Diferencia de dos cuadrados, porque hay que identificar el Trinomio Cuadrado Perfecto, que es una ecuación algebraica como la que sigue:

Px,y=x2+2xy+y2

Es un polinomio de tres términos, que para ser identificado, se sugieren los siguientes pasos:

  • Hay que escoger una variable para ordenar el trinomio del mayor al menor exponente.
  • Dos de los términos del polinomio, deben ser cuadrados perfectos.
  • El término central debe ser el producto de multiplicar las dos variables por dos.
  • Es importante tomar en cuenta los signos para hacer la factorización rápido y sin errores.

Factorizando resulta en el siguiente polinomio:

Px,y=x+y(x+y)

El resultado es un producto notable, llamado Cuadrado de un binomio:

Px,y=(x+y)2

Ejemplo de caso de Trinomio Cuadrado Perfecto

Dado el siguiente polinomio que se desea factorizar:

Px=x2+8x+16

Identificando el Trinomio Cuadrado Perfecto tenemos:

Px=x2+8x+42

El resultado de factorizarlo es:

Px=(x+4)2

Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini también es conocida como el Teorema del Resto, la que permite dividir, fácilmente, un polinomio por un binomio del tipo (x-a).

Si como resultado de la división se obtiene que el resto sea cero, entonces el polinomio se puede escribir con dos factores.

Estos dos factores resultantes son, uno de ellos de la forma (x-a) y el otro, el que produce la aplicación de la Regla de Ruffini.

Esta regla permite con facilidad factorizar polinomios de tercer grado o mayores.

Ejemplo de caso de Regla de Ruffini

Si queremos dividir dos polinomios PxQx, donde el polinomio Px=x3+2×2-x-4 y el binomio Qx=x-2, para utilizar la Regla de Ruffini, se hace como las divisiones normales hechas en la aritmética.

Por ello, se colocan en la parte superior todos los términos del polinomio, incluidos los que no existen, para dividir cada término de acuerdo con su exponente.

Los coeficientes del polinomio P(x) son 1, 2, -1 y -4, que serán divididos con el valor 2 de Q(x), dando como resultado los siguientes coeficientes: 1, 4 y 7.

Por lo que el polinomio resultante es: Rx=x2+4x+7, con un resto de valor 12.

Tal como las divisiones que aprendimos en aritmética, la Regla de Ruffini es muy intuitiva y se basa en tanteos, ya que no es una fórmula que se aplica y ya.

En conclusión

Para aprender adecuadamente como factorizar polinomios, lo realmente importante es practicar mucho, así como identificar los factores comunes.

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