Dentro del estudio de probabilidades se hace mención al teorema de Bayes. El cual, fue un aporte al área de la estadística realizado por el matemático de origen inglés Thomas Bayes.
La probabilidad es la característica de un suceso o evento para que se realice. Esta teoría se define como la probabilidad condicional de que ocurra un suceso en referencia a otro suceso diferente. En otras palabras, a través de esta expresión matemática se puede determinar la probabilidad de un suceso A. Conociendo las características que condicionan otro suceso B.
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Fórmula para conocer qué es el teorema de Bayes
Luego de conocer qué es el teorema de Bayes, es preciso especificar cuál es la fórmula que nos llevará a su cálculo. Posteriormente a una serie de pasos, que más adelante determinaremos con la resolución de un ejercicio práctico. De esta forma, se podrá observar cómo lograr determinar la probabilidad que requiere de estudio ó de algún análisis.
Para la aplicación de la fórmula del teorema de Bayes, debemos tener en consideración lo siguiente: que P(A) de un suceso o evento A será la probabilidad a priori. Mientras que P(B/A), es la probabilidad de que un suceso B ocurra con respecto a la suposición conocida del suceso o evento A; y que P(A/B) son las probabilidades posteriori.
La expresión matemática de este teorema se define de la siguiente manera:
P[Ai⁄B]=(P[B⁄Ai ]×P[Ai ])/(∑〖P[B⁄An ]×P[An ] 〗)
Donde:
El numerador es la probabilidad condicionada (el producto de la probabilidad B cuando se tiene Ai y P[B⁄Ai ]. Siendo B el suceso o evento conocido, y Ai los sucesos condicionados por la probabilidad P[Ai ]). Y; El denominador es la probabilidad total (la sumatoria de cada probabilidad de que ocurra el suceso conocido por cada suceso conocido).
Resolución de ejercicio empleando la probabilidad condicionada.
Un taller de máquinas de herramientas, donde se fabrican piezas en serie, posee tres tornos A, B y C. El torno A produce el 50% de las piezas, el torno B el 30% de las piezas y el torno C el restante 20% de la producción total de piezas. En ese sentido, cada torno fabrica una cantidad de piezas con defectos. El torno A produce 7% de piezas defectuosas. Mientras que el torno B produce un 4% y el torno C produce un 2%. Entonces:
- P(A)=0,50
- P(D⁄(A)=0,07)
- P(B)=0,30
- P(D⁄(B)=0,04)
- P(C)=0,20
- P(D⁄(C)=0,02)
Si una pieza ha sido fabricada por este taller de máquinas, ¿cuál es la probabilidad de que dicha pieza contenga un defecto?
Se calcula la probabilidad total de la siguiente manera:
P(D)=[P(A)×P(D⁄(A))]+[P(B)×P(D⁄(B))]+[P(C)×P(D⁄(C))]=[0,50×0,07]+[0,30×0,04]+[0,20×0,02]=0,051
Se dice que la probabilidad de que una pieza fabricada en este taller este defectuosa será de un 5,1%.
Ahora bien, si se fabrica una pieza y esta es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por el torno A? ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por el torno B? Y ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por el torno C?
Aplicando el teorema de Bayes obtenemos:
- P(A⁄(D)=[P(A)×P(D⁄A)]/P(D) )=(0,50×0,07)/0,051=0,69
- P(B⁄(D)=[P(B)×P(D⁄B)]/P(D) )=(0,30×0,04)/0,051=0,23
- P(C⁄(D)=[P(C)×P(D⁄C)]/P(D) )=(0,20×0,02)/0,051=0,08
Al obtener una pieza defectuosa, la probabilidad de que haya sido fabricada por el torno A es de 69%. Por otro lado, la probabilidad de que haya sido fabricada por el torno B es de un 23% y la probabilidad de que haya sido fabricada por el torno C es de un 8%.
Aplicaciones del teorema de Bayes
El teorema de Bayes es una herramienta muy valiosa y efectiva en cualquier cálculo de la teoría de la probabilidad. Debido a que sirve para determinar qué probabilidades tiene un suceso de ocurrir cuando tenemos algún tipo de característica o información precedente.
Como resultado, este método se utilizad para valorar información reciente. De igual forma, para analizar apreciaciones anteriores apoyadas en antecedentes restringidos. Por lo tanto, permite determinar si están en una fase u otra. Si se aplica de la manera correcta, la recolección de datos es eficiente para elegir las mejores opciones.
Entre sus aplicaciones puntuales se encuentran:
- En el área de salud. El diagnóstico de enfermedades tales como el cáncer y la diabetes.
- En deporte. Con la valoración de probabilidades durante el desarrollo de algún juego.
- En informática. Se utiliza para organizar grandes cantidades de datos. Como por ejemplo, un filtro para detectar los correos electrónicos catalogados como spam. Además en esta área también se usa para realizar fusión de datos, ordenando información representada como densidad de probabilidad.
- En las ciencias políticas. Se suele utilizar a la hora de realizar tanteos de suposiciones o hipótesis de una metodología llamada processtracing.
Ventajas del teorema de Bayes
Entre sus ventajas podemos enumerar las siguientes:
- Análisis para optimizar la toma de decisiones.
- Evaluar estudios con información previa.
- Indagar y recolectar datos con la finalidad de lograr una valoración exacta de una dificultad.
- Permite el estudio continuo de datos.
- Genera aportes en algunas áreas de estudio.
Desventajas del teorema de Bayes
La aplicación de este teorema ha sido tema de debate por los especialistas de la estadística tradicional. Debido a que las probabilidades estudiadas permiten situaciones referentes a otras ya existentes y no está fundamentada en sucesos repetibles con demostración empírica.
Restricciones para la aplicación del teorema de Bayes
- De los sucesos Ai, solo puede ocurrir uno de ellos.
- El total de las posibilidades de los sucesos o eventos debe ser igual a la unidad. Y cada uno debe ser diferente de cero.
- Tener conocimiento de todas las probabilidades del suceso o evento B.
- Las probabilidades condicionadas P(B⁄(Ai)) deben ser dadas.
Una teoría necesaria para el estudio de probabilidades
Al igual que otras teorías de probabilidad, este teorema comenzó con consideraciones sobre juegos de azar. Pero en la actualidad ha ampliado su campo de aplicación en ramas como la medicina y la informática.
Este análisis estadístico permite la solución de problemas con variadas probabilidades. Esto se debe a que nos indica cuando un suceso o evento puede ocurrir. Sobre todo, conociendo de antemano la información generada por los antecedentes de otros sucesos.
Además, convierte una probabilidad empírica o experimental en una real cuando esta se va transformando basada en datos actualizados.
En conclusión, este teorema es de gran importancia en el estudio estadístico de las probabilidades. Es utilizado para evaluar circunstancias que pueden ser reales o no. De esta forma, se puede obtener información valiosa que nos permitirá tomar una decisión acertada. Así como, crear un plan de acción eficaz y a su vez implantar las medidas necesarias para llevarlo a cabo.
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