¿Cuáles son los productos notables? Reglas y ejercicios resueltos

Se conocen como productos notables todas las operaciones matemáticas que implican la multiplicación de polinomios. Dichas sistematizaciones, no se resuelven de manera tradicional, por el contrario para obtener los resultados se utilizan algunas reglas.

Cuando se trata de los polinomios estos se multiplican entre ellos, para conseguir diversas cantidades de variables y términos. Por este motivo, para que los procesos sean cortos se da uso a la regla del producto notable.

Utilidad de los productos notables

Los productos notables se comportan de la misma manera que cualquier otra operación algebraica. En este sentido, se puede determinar que sirven para facilitar ciertos resultados matemáticos. Por esto, con su uso se obtienen respuestas de forma rápida y con la ayuda de unos cuantos criterios. Para aplicar dichas fórmulas es necesario conocer todos los detalles, ya que si se realiza erradamente los resultados estarán comprometidos.

Al realizar este tipo de operaciones se pueden obtener cálculos diversos relacionados con superficies, áreas y medidas. Todos pertenecientes al ámbito de la ingeniería, y se usan particularmente cuando se requiere aplicar reducciones en determinados ejercicios matemáticos. En el momento que se usan productos notables, y se aplican las reglas el resultado final se obtiene rápidamente.

Productos notables: reglas y ejercicios

Las identidades o los productos notables son los que se conforman de sistematizaciones o tipologías relacionadas con características específicas. Por ello, se deben considerar las reglas del ejercicio a resolver para cumplirlas y conseguir los resultados esperados. Algunos de los tipos de productos notables, sus métodos y ejercicios se mencionan seguidamente.

Binomios cuadrados

También se conoce como el cuadrado de un binomio, y por ello se considera como el producto notable más utilizado. Consiste, en una expresión que es completamente algebraica y se compone únicamente por dos términos. Los mismos, pueden sumar o restar y casi siempre se suelen elevar al cuadrado.

Cuando se ejecutan operaciones que involucran productos notables, pero con el cuadrado de un binomio. En este caso, se le conoce como el desarrollo de un trinomio cuadrado. Para realizarlo, se multiplican por sí mismo, sumando los cuadrados de cada término con el doble del producto que corresponda. Esto se expresa de la siguiente manera:

(b+c)²= b² +2bc+ c²

Cuando el término sea negativo se expresa así:

(b – c)² = b² – 2bc + c²

Ejemplo:

(2x-3y)² = (2x)² + 2(2x) (-3y) + (-3y)²

(2x-3y)² = 4x – 12xy + 9y²

Binomios al cubo

Este tipo de operación también pertenece a los productos notables, y se relaciona con expresiones usadas comúnmente en el álgebra. Los cuales, se refieren a dos términos aplicados a las restas y sumas. Cualquiera que sea el caso, dicha operación deberá estar siempre elevada al cubo.

Cuando a uno de estos binomios elevados al cubo se le aplica producto notable, el problema algebraico se resolverá exitosamente. Alguno de los ejemplos implica:

(X+2y) ^3 = X^3 +3 (X) ^2 (2y) + 3(X)(2y) ^2+(2y) ^3 \,

(x+2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 \,

Si por el contrario, la operación con binomios contiene resta, el resultado se expresaría como el primer término al cubo. Posteriormente, se resta el triple del producto al cuadrado y luego multiplicando el primero por el segundo. Aparte, se suma el triple del producto del primero multiplicado por el cuadrado del segundo. Finalmente, se resta el cubo del segundo dígito, quedando todo expresado de la siguiente manera:

(a-b)^3= a^3-3a^2b + 3ab^2 – b^3 \,

Binomios conjugados

Este tipo de procedimiento se encuentra relacionado con los productos notables. Esto debido, a que se conforman por pares de binomio y en el signo de la operación tiene diferencias. Lo que significa que si uno de los dígitos es negativo el otro necesariamente será positivo. No obstante, una vez resuelto el ejercicio todo será igual que la resta de pares de cuadrados.

Como ejemplo de este procedimiento se tiene: (A+B), y su conjugado perteneciente sería (A-B). En este caso, se puede notar que lo que cambia es el signo que pasa de ser positivo a negativo.

Ejemplo:

(3x + 5y) (3x – 5y)= (3x) (3X) + (3x)(-5y)+(5y)(3x)+(5y)(-5y)

(3x+5y)(3x-5y) = 9x² – 25y²

Binomios con término común

Se trata de binomios, que están presentes solo en uno de los dígitos del par. Esto quiere decir, que cuando un término es igual en ambos binomios, se obtendrá un producto notable. Como ejemplo, P(x)= (x+a) y Q(x)= (x+b), en este caso ambos comparten un término común que sería la “X”.

Explicando de una manera sencilla, se trata de las operaciones que tienen presente en ambos binomios un término idéntico. Cuando se resuelven este tipo de operaciones se están realizando sistematizaciones de productos notables.

Ejemplo:

(3x+4)(3x-)= (3x)(3x)+(3x)(-7)+(3x)(4)+(4)(-7)

(3x+4)(3x-7) =9x² -21x + 12x-28

(3x+4)(3x-7) = 9x² – 9x -28

Trinomios al cuadrado

Se trata de las operaciones conformadas por tres términos con los que se podrán realizar sistematizaciones de sustracción o adicción. En este caso, aunque sean de suma o resta todos los términos deberán ir elevados al cuadrado. Para resolver este tipo de producto notable, se tienen que seguir algunas reglas, que en ocasiones son un poco complejas.

Ejemplo:

 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x4 + x2 + 1 − 2×3 + 2×2 − 2x =

= x4 − 2×3 + 3×2 − 2x + 1

Aplicaciones de los productos notables en la vida cotidiana

La aplicación de los productos notables en la vida cotidiana de las personas no es algo muy común. En cambio, cuando se trata de la regla de tres, si es frecuentemente usada en las distintas labores diarias. Sin embargo, existen muchos profesionales de diversas áreas que utilizan las operaciones con productos notables. En este caso, se pueden mencionar los siguientes:

• Ingenieros civiles: los cuales, suelen usarlo para medir áreas, volúmenes y distancias.
• Son usados para calcular la intensidad de las corrientes eléctricas.
• Sirven para realizar los cálculos de la torsión de distintas estructuras.
• Se pueden obtener estimaciones de la cantidad de individuos presentes en el algoritmo genético.

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