Las propiedades de los límites permiten calcular límites de funciones complejas a partir de otros más sencillos. Si conocemos el límite de dos funciones cuando xx se aproxima a un punto, podemos utilizar reglas para hallar el límite de su suma, diferencia, producto, cociente, potencia o raíz sin empezar cada ejercicio desde cero.
Por ejemplo, si limx→2f(x)=3\lim_{x\to2} f(x)=3 y limx→2g(x)=5\lim_{x\to2} g(x)=5, entonces el límite de f(x)+g(x)f(x)+g(x) es 3+5=83+5=8. Esta idea constituye la base de buena parte del cálculo elemental de límites.
Contenido
Qué es un límite
El límite de una función describe el valor al que se aproxima f(x)f(x) cuando la variable xx se acerca a un determinado número.
Se escribe:
limx→af(x)=L\lim_{x\to a} f(x)=L
y se lee:
“el límite de f(x)f(x) cuando xx tiende a aa es LL”.
Esto significa que los valores de f(x)f(x) pueden acercarse tanto como queramos a LL cuando xx se aproxima suficientemente a aa.
No es imprescindible que xx llegue a tomar exactamente el valor aa.
Ejemplo sencillo de límite
Consideremos:
limx→2(x+3)\lim_{x\to2}(x+3)
Como x+3x+3 es una función continua, podemos sustituir directamente:
2+3=52+3=5
Por tanto:
limx→2(x+3)=5\boxed{\lim_{x\to2}(x+3)=5}
Las propiedades de los límites permiten formalizar este tipo de operaciones y aplicarlas a expresiones mucho más complejas.
Cuáles son las propiedades de los límites
Supongamos que:
limx→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L
y
limx→ag(x)=M\lim_{x\to a}g(x)=M
Entonces pueden utilizarse las siguientes reglas:
| Propiedad | Regla |
| Constante | limx→ac=c\lim_{x\to a} c=c |
| Identidad | limx→ax=a\lim_{x\to a}x=a |
| Suma | lim(f+g)=L+M\lim(f+g)=L+M |
| Resta | lim(f−g)=L−M\lim(f-g)=L-M |
| Constante por función | lim(cf)=cL\lim(cf)=cL |
| Producto | lim(fg)=LM\lim(fg)=LM |
| Cociente | lim(f/g)=L/M\lim(f/g)=L/M, si M≠0M\neq0 |
| Potencia | lim[f(x)]n=Ln\lim[f(x)]^n=L^n |
| Raíz | limf(x)n=Ln\lim\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}, cuando esté definida |
| Valor absoluto | (\lim |
Estas propiedades pueden combinarse dentro de un mismo ejercicio.
Propiedad del límite de una constante
El límite de una constante siempre es esa misma constante:
limx→ac=c\lim_{x\to a} c=c
Por ejemplo:
limx→57=7\lim_{x\to5}7=7
El valor no depende de xx, por lo que no cambia cuando xx se aproxima a 5.
Resultado:
7\boxed{7}
Propiedad de la función identidad
Para la función:
f(x)=xf(x)=x
se cumple:
limx→ax=a\lim_{x\to a}x=a
Ejemplo:
limx→4x=4\lim_{x\to4}x=4
Esta propiedad parece elemental, pero sirve como punto de partida para calcular límites de polinomios.
Propiedad de la suma
El límite de una suma es igual a la suma de los límites:
limx→a[f(x)+g(x)]=limx→af(x)+limx→ag(x)\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) + \lim_{x\to a}g(x)
Si:
limx→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L
y
limx→ag(x)=M\lim_{x\to a}g(x)=M
entonces:
limx→a[f(x)+g(x)]=L+M\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=L+M
Ejemplo de suma
Calcular:
limx→2(x2+3x)\lim_{x\to2}(x^2+3x)
Separamos:
limx→2×2+limx→23x\lim_{x\to2}x^2+\lim_{x\to2}3x
Calculamos:
22+3(2)2^2+3(2) 4+6=104+6=10
Resultado:
10\boxed{10}
Propiedad de la resta
El límite de una diferencia es la diferencia de los límites:
limx→a[f(x)−g(x)]=L−M\lim_{x\to a}[f(x)-g(x)] = L-M
Ejemplo:
limx→3(x2−2x)\lim_{x\to3}(x^2-2x)
Sustituimos:
32−2(3)3^2-2(3) 9−6=39-6=3
Por tanto:
3\boxed{3}
Propiedad del producto por una constante
Una constante puede sacarse fuera del límite:
limx→a[c f(x)]=climx→af(x)\lim_{x\to a}[c\,f(x)] = c\lim_{x\to a}f(x)
Ejemplo:
limx→45x\lim_{x\to4}5x
Aplicamos la propiedad:
5limx→4×5\lim_{x\to4}x 5(4)=205(4)=20
Resultado:
20\boxed{20}
Propiedad del producto
El límite de un producto es igual al producto de los límites:
limx→a[f(x)g(x)]=LM\lim_{x\to a}[f(x)g(x)] = LM
si ambos límites existen.
Ejemplo de producto
Calcular:
limx→2(x+1)(x−4)\lim_{x\to2}(x+1)(x-4)
Podemos calcular cada factor:
limx→2(x+1)=3\lim_{x\to2}(x+1)=3 limx→2(x−4)=−2\lim_{x\to2}(x-4)=-2
Multiplicamos:
3(−2)=−63(-2)=-6
Resultado:
−6\boxed{-6}
Propiedad del cociente
El límite de un cociente es el cociente de los límites siempre que el límite del denominador no sea cero:
limx→af(x)g(x)=LM\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}
con:
M≠0M\neq0
Esta condición es fundamental.
Ejemplo de cociente
Calcular:
limx→2x+3x+1\lim_{x\to2}\frac{x+3}{x+1}
Numerador:
2+3=52+3=5
Denominador:
2+1=32+1=3
Por tanto:
53\boxed{\frac{5}{3}}
Qué ocurre si el denominador tiende a cero
La propiedad del cociente no puede aplicarse directamente si:
limx→ag(x)=0\lim_{x\to a}g(x)=0
Por ejemplo:
limx→2x+1x−2\lim_{x\to2}\frac{x+1}{x-2}
El denominador tiende a:
2−2=02-2=0
No podemos afirmar:
30\frac{3}{0}
porque la división entre cero no está definida.
En este caso es necesario estudiar el límite de otra manera, por ejemplo mediante límites laterales.
Propiedad de la potencia
Si:
limx→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L
entonces, para un exponente entero positivo nn:
limx→a[f(x)]n=Ln\lim_{x\to a}[f(x)]^n=L^n
Ejemplo de potencia
Calcular:
limx→3(x+1)2\lim_{x\to3}(x+1)^2
Primero:
limx→3(x+1)=4\lim_{x\to3}(x+1)=4
Después:
42=164^2=16
Resultado:
16\boxed{16}
Propiedad de la raíz
Para una raíz pueden aplicarse reglas similares siempre que la expresión se encuentre dentro de su dominio.
limx→af(x)n=Ln\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L}
cuando la raíz esté definida en los valores considerados.
Ejemplo con raíz cuadrada
Calcular:
limx→9x\lim_{x\to9}\sqrt{x}
Sustituimos:
9=3\sqrt{9}=3
Resultado:
3\boxed{3}
Restricción de las raíces pares
Para raíces de índice par, el radicando debe ser no negativo cuando trabajamos con números reales.
Por ejemplo:
x\sqrt{x}
solo está definida en los reales para:
x≥0x\geq0
Esta condición debe tenerse en cuenta al estudiar el límite y su dominio.
Propiedad del valor absoluto
Si:
limx→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L
entonces:
limx→a∣f(x)∣=∣L∣\lim_{x\to a}|f(x)|=|L|
Ejemplo:
limx→2∣x−5∣\lim_{x\to2}|x-5|
Sustituimos:
∣2−5∣=∣−3∣=3|2-5|=|-3|=3
Resultado:
3\boxed{3}
Regla para polinomios
Los polinomios son funciones continuas en todos los números reales.
Por eso, para calcular:
limx→aP(x)\lim_{x\to a}P(x)
basta con evaluar:
P(a)P(a)
Ejemplo con un polinomio
Calcular:
limx→2(3×3−2×2+5x−4)\lim_{x\to2}(3x^3-2x^2+5x-4)
Sustituimos:
3(2)3−2(2)2+5(2)−43(2)^3-2(2)^2+5(2)-4
Calculamos:
3(8)−2(4)+10−43(8)-2(4)+10-4 24−8+10−424-8+10-4 2222
Resultado:
22\boxed{22}
Por qué se puede sustituir directamente en un polinomio
Un polinomio se construye utilizando:
- constantes;
- potencias;
- sumas;
- restas;
- productos.
Todas estas operaciones respetan las propiedades de los límites.
Por eso:
limx→aP(x)=P(a)\lim_{x\to a}P(x)=P(a)
para cualquier polinomio.
Regla para funciones racionales
Una función racional tiene forma:
P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}
donde PP y QQ son polinomios.
Si:
Q(a)≠0Q(a)\neq0
entonces:
limx→aP(x)Q(x)=P(a)Q(a)\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(a)}{Q(a)}
Ejemplo de función racional
Calcular:
limx→2×2+3x+4\lim_{x\to2}\frac{x^2+3}{x+4}
Numerador:
22+3=72^2+3=7
Denominador:
2+4=62+4=6
Resultado:
76\boxed{\frac76}
Cuando sustituir directamente no funciona
La sustitución directa puede producir expresiones como:
00\frac00
o:
∞∞\frac{\infty}{\infty}
Estas expresiones son formas indeterminadas.
No representan directamente el resultado del límite.
Indican que necesitamos transformar o analizar la expresión antes de concluir.
Qué significa la indeterminación 0/0
Consideremos:
limx→2×2−4x−2\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}
Si sustituimos:
22−42−2=00\frac{2^2-4}{2-2} = \frac00
No podemos afirmar que el límite sea cero.
Tampoco que no exista.
La forma 0/00/0 nos indica que debemos simplificar.
Ejemplo resuelto con factorización
Tenemos:
limx→2×2−4x−2\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}
Factorizamos:
x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4=(x-2)(x+2)
Entonces:
(x−2)(x+2)x−2\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}
Para x≠2x\neq2:
=x+2=x+2
Ahora calculamos:
limx→2(x+2)\lim_{x\to2}(x+2) 2+2=42+2=4
Resultado:
4\boxed{4}
Aunque la función original no esté definida exactamente en x=2x=2, el límite sí existe.
El valor de la función y el límite no tienen que coincidir
Esta idea es esencial.
El límite estudia qué ocurre cerca de un punto, no necesariamente en el propio punto.
Podemos tener:
limx→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L
aunque:
- f(a)f(a) no exista;
- f(a)≠Lf(a)\neq L.
Por ejemplo, en:
f(x)=x2−4x−2f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}
la función no está definida en x=2x=2, pero:
limx→2f(x)=4\lim_{x\to2}f(x)=4
Propiedad de composición de funciones
Si:
limx→ag(x)=L\lim_{x\to a}g(x)=L
y una función ff es continua en LL, entonces:
limx→af(g(x))=f(L)\lim_{x\to a}f(g(x)) = f(L)
Esta regla permite calcular muchos límites mediante sustitución.
Ejemplo de composición
Calcular:
limx→1×2+8\lim_{x\to1}\sqrt{x^2+8}
Primero:
x2+8→12+8=9x^2+8\to1^2+8=9
Como la raíz cuadrada es continua en 9:
9=3\sqrt{9}=3
Resultado:
3\boxed{3}
Propiedad del límite de una función continua
Si ff es continua en aa, entonces:
limx→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
Esta propiedad explica por qué la sustitución directa funciona en muchas funciones habituales.
Entre ellas:
- polinomios;
- funciones racionales donde el denominador no vale cero;
- exponenciales;
- trigonométricas en puntos de continuidad;
- raíces dentro de su dominio.
Propiedad del límite de funciones trigonométricas
En los puntos donde son continuas podemos sustituir directamente.
Por ejemplo:
limx→0sinx=0\lim_{x\to0}\sin x=0
porque:
sin0=0\sin 0=0
También:
limx→0cosx=1\lim_{x\to0}\cos x=1
Ejemplo trigonométrico
Calcular:
limx→π/2(2+sinx)\lim_{x\to\pi/2}(2+\sin x)
Aplicamos suma y continuidad:
2+sin(π2)2+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) 2+1=32+1=3
Resultado:
3\boxed{3}
Límite notable del seno
Uno de los límites fundamentales es:
limx→0sinxx=1\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1
si xx está medido en radianes.
Este límite no se obtiene sustituyendo directamente porque aparece:
00\frac00
Sin embargo, su valor es:
1\boxed{1}
Se utiliza para resolver muchos límites trigonométricos y para desarrollar posteriormente el concepto de derivada.
Ejemplo usando el límite notable
Calcular:
limx→0sin(3x)x\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x}
Escribimos:
sin(3x)x=3sin(3x)3x\frac{\sin(3x)}{x} = 3\frac{\sin(3x)}{3x}
Cuando x→0x\to0:
3x→03x\to0
Por tanto:
3⋅1=33\cdot1=3
Resultado:
3\boxed{3}
Propiedad de comparación
Si cerca de aa:
f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x)
y existen ambos límites, entonces:
limx→af(x)≤limx→ag(x)\lim_{x\to a}f(x) \leq \lim_{x\to a}g(x)
Esta propiedad permite mantener desigualdades al pasar al límite bajo las condiciones adecuadas.
Teorema del sándwich
Una herramienta especialmente útil es el teorema del sándwich, también llamado del encaje.
Si:
f(x)≤g(x)≤h(x)f(x)\leq g(x)\leq h(x)
y además:
limx→af(x)=limx→ah(x)=L\lim_{x\to a}f(x) = \lim_{x\to a}h(x) = L
entonces:
limx→ag(x)=L\lim_{x\to a}g(x)=L
La función central queda “atrapada” entre otras dos que se aproximan al mismo valor.
Ejemplo sencillo del teorema del sándwich
Si sabemos que cerca de 00:
−x2≤f(x)≤x2-x^2\leq f(x)\leq x^2
y:
limx→0(−x2)=0\lim_{x\to0}(-x^2)=0 limx→0x2=0\lim_{x\to0}x^2=0
entonces:
limx→0f(x)=0\boxed{\lim_{x\to0}f(x)=0}
Límite de una constante elevada a una función
Para funciones exponenciales continuas puede utilizarse la continuidad.
Por ejemplo:
limx→23x=32=9\lim_{x\to2}3^x = 3^2 = 9
Resultado:
9\boxed{9}
Ejemplo combinando varias propiedades
Calcular:
limx→23×2+2x−1x+3\lim_{x\to2} \frac{3x^2+2x-1}{x+3}
Aplicamos primero las propiedades del numerador:
3(2)2+2(2)−13(2)^2+2(2)-1 12+4−1=1512+4-1=15
Denominador:
2+3=52+3=5
Como el denominador no tiende a cero:
155=3\frac{15}{5}=3
Resultado:
3\boxed{3}
Ejemplo resuelto con suma, producto y potencia
Calcular:
limx→1(x2+2)(3x−1)\lim_{x\to1}(x^2+2)(3x-1)
Primer factor:
12+2=31^2+2=3
Segundo:
3(1)−1=23(1)-1=2
Producto:
3⋅2=63\cdot2=6
Resultado:
6\boxed{6}
Ejemplo resuelto con raíz y cociente
Calcular:
limx→4x+2x+1\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}+2}{x+1}
Numerador:
4+2=2+2=4\sqrt4+2=2+2=4
Denominador:
4+1=54+1=5
Resultado:
45\boxed{\frac45}
Ejemplo resuelto con factorización
Calcular:
limx→3×2−9x−3\lim_{x\to3} \frac{x^2-9}{x-3}
Sustitución inicial:
00\frac00
Factorizamos:
x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3)
Simplificamos:
(x−3)(x+3)x−3=x+3\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3
Por tanto:
3+3=63+3=6
Resultado:
6\boxed{6}
Ejemplo resuelto con racionalización
Calcular:
limx→4x−2x−4\lim_{x\to4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}
Sustituyendo obtenemos:
00\frac00
Multiplicamos por el conjugado:
x−2x−4⋅x+2x+2\frac{\sqrt{x}-2}{x-4} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}
Numerador:
(x−2)(x+2)=x−4(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4
Entonces:
x−4(x−4)(x+2)\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}
Simplificamos:
1x+2\frac{1}{\sqrt{x}+2}
Ahora sustituimos:
12+2=14\frac{1}{2+2} = \frac14
Resultado:
14\boxed{\frac14}
Ejemplo con una fracción algebraica
Calcular:
limx→1×3−1x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3-1}{x-1}
Al sustituir:
00\frac00
Factorizamos:
x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
Simplificamos:
x2+x+1x^2+x+1
Sustituimos:
1+1+1=31+1+1=3
Resultado:
3\boxed{3}
Propiedades de los límites laterales
Para que exista un límite finito:
limx→af(x)\lim_{x\to a}f(x)
deben coincidir el límite por la izquierda y por la derecha:
limx→a−f(x)=limx→a+f(x)\lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x)
Si ambos son iguales a LL, entonces:
limx→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L
Qué es un límite lateral
El límite por la izquierda analiza valores:
x<ax<a
que se aproximan a aa.
Se escribe:
limx→a−f(x)\lim_{x\to a^-}f(x)
El límite por la derecha utiliza valores:
x>ax>a
y se escribe:
limx→a+f(x)\lim_{x\to a^+}f(x)
Ejemplo donde el límite no existe
Consideremos:
f(x)={1,x<02,x≥0f(x)= \begin{cases} 1,& x<0\\ 2,& x\geq0 \end{cases}
Por la izquierda:
limx→0−f(x)=1\lim_{x\to0^-}f(x)=1
Por la derecha:
limx→0+f(x)=2\lim_{x\to0^+}f(x)=2
Como:
1≠21\neq2
el límite bilateral:
limx→0f(x)\boxed{\lim_{x\to0}f(x)}
no existe.
Una propiedad solo puede usarse cuando se cumplen sus condiciones
Las reglas de límites son muy potentes, pero no deben aplicarse mecánicamente.
Por ejemplo, para el cociente necesitamos:
M≠0M\neq0
Para determinadas raíces hay restricciones de dominio.
Y para utilizar algunas propiedades necesitamos que los límites individuales existan.
Por eso siempre conviene comprobar las condiciones antes de operar.
Formas indeterminadas más conocidas
Durante el cálculo pueden aparecer formas como:
00\frac00 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 0⋅∞0\cdot\infty ∞−∞\infty-\infty 1∞1^\infty 000^0 ∞0\infty^0
Se denominan indeterminadas porque su apariencia no determina por sí sola el valor del límite.
Cada caso debe transformarse o estudiarse con técnicas adecuadas.
0/0 no significa cero
Este punto merece especial atención.
Si aparece:
00\frac00
no podemos cancelar los ceros ni afirmar que el resultado sea:
- 0;
- 1;
- infinito.
Diferentes límites con forma 0/00/0 pueden producir resultados totalmente distintos.
Por ejemplo:
limx→0xx=1\lim_{x\to0}\frac{x}{x}=1
pero:
limx→0x2x=0\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x}=0
Ambos generan inicialmente la apariencia 0/00/0, pero sus resultados son diferentes.
Tabla de propiedades con ejemplos
| Propiedad | Ejemplo | Resultado |
| Constante | limx→27\lim_{x\to2}7 | 7 |
| Identidad | limx→3x\lim_{x\to3}x | 3 |
| Suma | limx→2(x+4)\lim_{x\to2}(x+4) | 6 |
| Resta | limx→5(x−2)\lim_{x\to5}(x-2) | 3 |
| Producto | limx→2x(x+1)\lim_{x\to2}x(x+1) | 6 |
| Cociente | limx→2(x+1)/(x+2)\lim_{x\to2}(x+1)/(x+2) | 3/4 |
| Potencia | limx→3×2\lim_{x\to3}x^2 | 9 |
| Raíz | limx→9x\lim_{x\to9}\sqrt{x} | 3 |
| Valor absoluto | (\lim_{x\to2} | x-5 |
Cómo resolver un límite paso a paso
Un método práctico consiste en seguir este orden.
1. Intenta sustituir directamente
Evalúa la función en el punto.
2. Si obtienes un número válido, termina
En funciones continuas será normalmente el resultado.
3. Si aparece una indeterminación, no concluyas
Debes transformar la expresión.
4. Busca una técnica adecuada
Puede ser:
- factorizar;
- simplificar;
- racionalizar;
- utilizar identidades;
- aplicar un límite notable.
5. Vuelve a calcular el límite
Después de transformar la expresión, prueba de nuevo.
Ejercicio resuelto 1
Calcular:
limx→2(4×2−3x+1)\lim_{x\to2}(4x^2-3x+1)
Sustituimos:
4(2)2−3(2)+14(2)^2-3(2)+1 16−6+116-6+1 11\boxed{11}
Ejercicio resuelto 2
Calcular:
limx→32x+1x+2\lim_{x\to3}\frac{2x+1}{x+2}
Sustituimos:
2(3)+13+2\frac{2(3)+1}{3+2} 75\frac75
Resultado:
75\boxed{\frac75}
Ejercicio resuelto 3
Calcular:
limx→5(x2−4x+7)\lim_{x\to5}(x^2-4x+7) 52−4(5)+75^2-4(5)+7 25−20+7=1225-20+7=12
Resultado:
12\boxed{12}
Ejercicio resuelto 4
Calcular:
limx→2×2+x−6x−2\lim_{x\to2} \frac{x^2+x-6}{x-2}
Sustitución inicial:
00\frac00
Factorizamos:
x2+x−6=(x+3)(x−2)x^2+x-6=(x+3)(x-2)
Simplificamos:
x+3x+3
Ahora:
2+3=52+3=5
Resultado:
5\boxed{5}
Ejercicio resuelto 5
Calcular:
limx→0(x+1)2−1x\lim_{x\to0}\frac{(x+1)^2-1}{x}
Desarrollamos:
(x+1)2−1=x2+2x+1−1(x+1)^2-1=x^2+2x+1-1 =x2+2x=x^2+2x
Factorizamos:
x(x+2)x(x+2)
Entonces:
x(x+2)x=x+2\frac{x(x+2)}x=x+2
Por tanto:
2\boxed{2}
Ejercicio resuelto 6
Calcular:
limx→1×2−1×2+x−2\lim_{x\to1} \frac{x^2-1}{x^2+x-2}
Factorizamos:
x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1)
y:
x2+x−2=(x−1)(x+2)x^2+x-2=(x-1)(x+2)
Simplificamos:
x+1x+2\frac{x+1}{x+2}
Sustituimos:
23\frac{2}{3}
Resultado:
23\boxed{\frac23}
Ejercicio resuelto 7
Calcular:
limx→0x+4−2x\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}
Sustituyendo aparece:
00\frac00
Racionalizamos:
x+4−2x⋅x+4+2x+4+2\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}
El numerador queda:
x+4−4=xx+4-4=x
Entonces:
xx(x+4+2)\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}
Simplificamos:
1x+4+2\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}
Sustituimos:
12+2=14\frac{1}{2+2} = \frac14
Resultado:
14\boxed{\frac14}
Ejercicio resuelto 8
Calcular:
limx→0sin(5x)x\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{x}
Escribimos:
sin(5x)x=5sin(5x)5x\frac{\sin(5x)}{x} = 5\frac{\sin(5x)}{5x}
Aplicamos:
limu→0sinuu=1\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1
Entonces:
5(1)=55(1)=5
Resultado:
5\boxed{5}
Ejercicio resuelto 9
Calcular:
limx→4x+5\lim_{x\to4} \sqrt{x+5}
Por continuidad:
4+5=9=3\sqrt{4+5} = \sqrt9 = 3
Resultado:
3\boxed{3}
Ejercicio resuelto 10
Calcular:
limx→2∣3x−8∣\lim_{x\to2}|3x-8|
Sustituimos:
∣3(2)−8∣|3(2)-8| ∣6−8∣|6-8| ∣−2∣=2|-2|=2
Resultado:
2\boxed{2}
Cómo reconocer qué propiedad aplicar
Si la expresión contiene:
f(x)+g(x)f(x)+g(x)
→ propiedad de la suma.
f(x)−g(x)f(x)-g(x)
→ propiedad de la resta.
f(x)g(x)f(x)g(x)
→ producto.
f(x)/g(x)f(x)/g(x)
→ cociente, comprobando el denominador.
[f(x)]n[f(x)]^n
→ potencia.
f(x)n\sqrt[n]{f(x)}
→ raíz.
En expresiones complejas se utilizan varias reglas consecutivamente.
Propiedades de límites infinitos
Cuando una función crece o decrece sin cota puede aparecer:
+∞+\infty
o:
−∞-\infty
Por ejemplo:
limx→0+1x=+∞\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty
mientras:
limx→0−1x=−∞\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty
Como los dos comportamientos laterales son diferentes, no existe un único límite bilateral en sentido finito ni un mismo límite infinito por ambos lados.
Límite cuando x tiende a infinito
También pueden estudiarse expresiones como:
limx→∞f(x)\lim_{x\to\infty}f(x)
Aquí no nos acercamos a un número concreto.
Analizamos el comportamiento de la función cuando xx aumenta indefinidamente.
Ejemplo:
limx→∞1x=0\lim_{x\to\infty}\frac1x=0
porque el denominador crece mientras el numerador permanece constante.
Ejemplo de cociente de polinomios en infinito
Calcular:
limx→∞3×2+1×2+4\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2+1}{x^2+4}
Dividimos numerador y denominador entre x2x^2:
3+1×21+4×2\frac{3+\frac1{x^2}} {1+\frac4{x^2}}
Cuando x→∞x\to\infty:
1×2→0\frac1{x^2}\to0
Por tanto:
3+01+0=3\frac{3+0}{1+0}=3
Resultado:
3\boxed{3}
Reglas rápidas para cocientes de polinomios en infinito
Para:
P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}
podemos comparar sus grados.
Mismo grado
El límite es el cociente entre los coeficientes principales.
Ejemplo:
5×3+…2×3+…→52\frac{5x^3+\dots}{2x^3+\dots} \to \frac52
Grado del numerador menor
El límite es:
00
Grado del numerador mayor
La función puede crecer hacia +∞+\infty, −∞-\infty o presentar otro comportamiento según coeficientes, grados y dirección del límite.
No basta con escribir simplemente “infinito” sin analizar los signos.
Diferencia entre límite y valor de una función
Consideremos:
f(x)=x2−1x−1f(x)= \frac{x^2-1}{x-1}
Para x≠1x\neq1:
f(x)=x+1f(x)=x+1
Entonces:
limx→1f(x)=2\lim_{x\to1}f(x)=2
pero la expresión original no está definida en:
x=1x=1
Esto demuestra que el límite analiza el comportamiento próximo al punto.
Límite y continuidad
Una función es continua en x=ax=a cuando se cumplen tres condiciones:
- f(a)f(a) existe.
- limx→af(x)\lim_{x\to a}f(x) existe.
- limx→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Si alguna falla, la función no es continua en ese punto.
Ejemplo de discontinuidad removible
La función:
f(x)=x2−4x−2f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}
no está definida en x=2x=2.
Pero:
limx→2f(x)=4\lim_{x\to2}f(x)=4
Si definiéramos:
f(2)=4f(2)=4
podríamos eliminar esa discontinuidad.
De ahí el nombre discontinuidad removible o evitable.
Tabla de estrategias según el resultado inicial
| Sustitución inicial | Qué hacer |
| Número real | Ese suele ser el límite |
| 0/00/0 | Factorizar, simplificar o racionalizar |
| Denominador 00 y numerador no nulo | Estudiar límites laterales |
| ∞/∞\infty/\infty | Comparar términos dominantes o transformar |
| Raíces con resta | Puede ser útil racionalizar |
| Expresión trigonométrica 0/00/0 | Buscar límites notables o identidades |
Errores que conviene evitar
Dividir entre cero
Una expresión como:
50\frac50
no es un número real.
Interpretar 0/0 como cero
Es una indeterminación.
Cancelar términos incorrectamente
Por ejemplo:
x+2x\frac{x+2}{x}
no permite cancelar las xx.
Ignorar límites laterales
Son imprescindibles cuando el comportamiento cambia según el lado de aproximación.
Confundir límite y valor de la función
Pueden coincidir, pero no tienen por qué hacerlo.
Cinco propiedades de los límites para memorizar
Si necesitas una lista breve:
- Suma: el límite de una suma es la suma de los límites.
- Resta: el límite de una diferencia es la diferencia de los límites.
- Producto: el límite de un producto es el producto de los límites.
- Cociente: es el cociente de los límites si el denominador no tiende a cero.
- Potencia: el límite de una potencia es la potencia del límite, bajo las condiciones correspondientes.
Ejemplo para una tarea escolar
Una respuesta breve y completa sería:
Las propiedades de los límites son reglas que permiten calcular el límite de expresiones formadas por varias funciones. Si limf(x)=L\lim f(x)=L y limg(x)=M\lim g(x)=M, entonces el límite de su suma es L+ML+M, el de su producto es LMLM y el de su cociente es L/ML/M, siempre que M≠0M\neq0. También existen propiedades para constantes, potencias, raíces y valores absolutos.
Preguntas frecuentes
¿Qué son las propiedades de los límites?
Son reglas que permiten obtener el límite de una expresión a partir de los límites de las funciones que la componen.
¿Cuál es la propiedad de la suma?
lim(f+g)=limf+limg\lim(f+g)=\lim f+\lim g
si existen los límites correspondientes.
¿Cuál es la propiedad del producto?
lim(fg)=(limf)(limg)\lim(fg)=(\lim f)(\lim g)
¿Cuál es la propiedad del cociente?
limfg=limflimg\lim\frac fg=\frac{\lim f}{\lim g}
si el límite del denominador es distinto de cero.
¿Qué pasa si aparece 0/0?
Es una forma indeterminada. Hay que transformar la expresión antes de determinar el límite.
¿Se puede sustituir directamente?
Sí, cuando la función es continua en el punto y la sustitución produce un valor válido.
¿El límite puede existir aunque la función no esté definida en el punto?
Sí. El límite depende del comportamiento alrededor del punto.
¿Cuándo existe un límite bilateral?
Cuando los límites por la izquierda y por la derecha existen y coinciden.
¿Puede utilizarse una raíz dentro de un límite?
Sí, respetando el dominio de la raíz y las condiciones de continuidad correspondientes.
¿Qué relación existe entre límite y continuidad?
Si una función es continua en aa, entonces su límite cuando x→ax\to a es igual a f(a)f(a).
Las propiedades de los límites convierten muchos ejercicios aparentemente complejos en una sucesión de operaciones sencillas. La suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz permiten descomponer una función y trabajar con cada parte, siempre que se respeten las condiciones de cada regla.
La idea más útil para resolver ejercicios es empezar por la sustitución directa y observar qué ocurre. Si aparece un valor válido, el cálculo suele terminar ahí; si surge una indeterminación como 0/00/0, el problema no está resuelto ni significa que el límite no exista: simplemente indica que hay que transformar la expresión. Entender esa diferencia es lo que permite pasar de memorizar reglas a utilizar realmente los límites con criterio.