Las identidades trigonométricas, permiten el cálculo de ángulos a partir de medidas de segmentos, expresadas en unidades de longitud. A través de estas funciones se puede calcular todos los elementos de un triángulo.
La ciencia que estudia estas identidades o razones es la trigonometría. En tal sentido, es el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo por las funciones trigonométricas de los ángulos (seno, coseno y tangente).
Contenido
El triángulo rectángulo y las identidades trigonométricas
A continuación definiremos, las funciones trigonométricas que se pueden encontrar por las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo.
Seno
Se denomina seno de un ángulo α, a la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa del triángulo. Su fórmula es la siguiente:
Sen ∝=BC/AB
Coseno
Se denomina coseno de un ángulo α, a la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa del triángulo. Su fórmula es la siguiente:
Cos ∝=AC/AB
Tangente
Se denomina tangente de un ángulo α, a la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al mismo. Su fórmula es la siguiente:
Tag ∝=BC/AC
Calculando las inversas de las tres identidades trigonométricas anteriores, aparecen otras tres razones las cuales son:
Cotangente
Cotangente de un ángulo α, es la inversa de la tangente del ángulo α y se representa de la siguiente manera:
Cot ∝=1/(tag ∝)
Secante
Secante de un ángulo α, es la inversa del coseno del ángulo α y se representa de la siguiente manera:
Sec ∝=1/(cos ∝)
Cosecante
Cosecante de un ángulo α, es la inversa del seno del ángulo α y se representa de la siguiente manera:
Cosec ∝=1/(sen ∝)
Relaciones entre las identidades trigonométricas de un ángulo
Como podemos observar a continuación, los valores de las diferentes razones trigonométricas de un mismo ángulo no son independientes. Al contrario, se encuentran unidas por una serie de relaciones primordiales:
Relación entre el seno y el coseno de un mismo ángulo:
〖Sen〗^2∝+〖 Cos〗^2∝ =1
Relación entre el seno, coseno y tangente de un mismo ángulo:
Tag∝ =(Sen ∝)/(Cos ∝)
Relación entre la tangente y el coseno de un mismo ángulo:
〖Tag〗^2∝ + 1=〖Sec〗^2∝
De forma equivalente se relacionan la cotangente y la cosecante de un ángulo:
〖Cotag〗^2∝ + 1=〖Cosec〗^2∝
Identidades trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Valor del seno de la suma de dos ángulos:
Sen (a+b)=sen b×cos〖a+cos〖b×sen a〗 〗
Valor del coseno de la suma de dos ángulos:
Cos (a+b)=cos b×cos〖a-sen b×sen a〗
Diferencia de seno y coseno de dos ángulos:
Sen (a-b)=sen a ×cos〖b-cos〖a×sen b〗 〗
Cos (a-b)=cos a ×cos〖a+sen〖a×sen b〗 〗
Tangente de una suma de ángulos:
Tag (a+b)=(tag a+tag b)/(1-tag a ×tag b)
Tangente de la diferencia de dos ángulos:
Tag (a-b)=(tag a-tag b)/(1+tag a ×tag b)
Identidades trigonométricas del ángulo doble y mitad
Sen a= √((1-cos2a)/2)
Cos a= √((1+cos2a)/2)
Tag a= √((1-cos2a)/(1+cos2a))
Fórmulas para la transformación en producto de la suma y diferencia de dos senos o dos cosenos:
Sen (a+b)+sen (a-b)=2sen a×cosb
Sen (a+b)-sen (a-b)=2cos a×sen b
Cos (a+b)+cos〖(a-b)=2 cosa×cosb 〗
Cos (a+b)-cos(a-b)=2sen a×sen b
Resolución de los diversos casos de triángulos rectángulos
En primer lugar, se resuelve un triángulo cuando de los seis elementos característicos del mismo (tres lados a, b, c y tres ángulos A ̂,B ̂,C ̂). Seguidamente, se calculan los valores de los elementos desconocidos a partir de los valores de los elementos conocidos.
El valor del ángulo recto A ̂ es siempre conocido (90°).
Teniendo los valores de los elementos conocidos, se pueden dar los siguientes casos de resolución de triángulos rectángulos:
- Primer caso: cuando se conocen la hipotenusa y un ángulo dado.
- Segundo caso: conociendo un cateto y un ángulo agudo.
- Tercer caso: cuando se conocen los valores de la hipotenusa y un cateto.
- Cuarto caso: se conocen los dos catetos (opuesto y adyacente).
Como puede apreciarse, en todos los casos se conoce el valor de uno de los lados del triángulo rectángulo.
Ejercicios resueltos de identidades trigonométricas
1-Sabiendo que sen 35° = 0,57358, calcular los valores de las identidades trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) de 55°.
- sen 55°=cos〖(90°-35°)=cos〖35°=0,819149〗 〗
- cos〖55°=sen(90°-55°)=sen 35°=0,57358〗
- tag 55°=cotag(90°-55°)=cotag 35°=1,428133
- cotag 55°=tag(90°-55°)=tag 35°=0,700214
- sec〖55°=cosec(90°-55°)=cosec 35°=1,743435〗
- cosec 55°=sec(90°-55°)=sec〖35°=1,220779〗
2-Calcular la hipotenusa a de un triángulo rectángulo, conociendo uno de sus ángulos agudos C ̂ = 70°10’ y el lado opuesto a dicho ángulo c = 250 m.
Sea ABC el triángulo en cuestión.
Se sabe que Sen C=a/c , de donde:
a=c/(sen c)=250/0,9406=265,765 m
3-Sea ABC el triángulo en cuestión.
Se sabe que Tag B=b/c , de donde:
b=c×tag B=284×tag35°45’=204,4 cm
4-Sea ABC el triángulo en cuestión.
El enunciado del ejercicio se corresponde con el cuarto caso de resolución de triángulos rectángulos.
Por lo tanto:
tag B=0,78025; B ̂=arc tag 0,78025=35°57’47”
a=√(b^2+c^2 )=√43513,114=208,597 m
S=1⁄2 b×c=10551,753 m^2
Aplicaciones diversas de las identidades trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos
Todo lo anteriormente descrito, permite calcular los elementos de un triángulo isósceles y un polígono regular (ambos se pueden descomponer en triángulos rectángulos). También, se pueden calcular los elementos de un trapecio, un rombo y rectángulos.
Así mismo, es posible calcular longitudes de arcos y el radio de la circunferencia en cuestión. A su vez, podemos resolver problemas referentes a desniveles en los terrenos, entre otras muchas aplicaciones.
Por otro lado, tienen un amplio campo de estudio en la resolución de triángulos esféricos muy empleados en astronomía.
La navegación ha requerido cálculos de distancias cuya medición directa no es posible. Por esta razón, esta área se ha puesto en práctica una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos.
Por ejemplo, la distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima. De igual forma, desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa. También puede ser la que separa a dos astros. Todas, pueden resultar inaccesibles a la medición directa. Sin embargo, el ángulo que forma la visual con otra visual fijada de antemano, resulta fácil de medir tomando en cuenta la aplicación de instrumentos como las identidades trigonométricas.